《植树问题》是三年级上册整理与提高单元数学广场的内容，该板块的内容主要是向学生渗透数学思想和方法，通过现实生活中常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，再运用模型来解决一些简单的实际问题。初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

   为了更有效地开展教学，以学生为本，促进学生地深度学习，笔者就“植树问题”的教学难点，从教师层面和学生层面进行了分析。

1、教师教的层面。

   植树问题的类型大致有以下几种情况。

   在不封闭类型中的三种不同情况，每种情况的“棵数”与“段数”之间的关系是不同的，而且封闭路线的植树情况和只种一端的情况还需要帮助学生沟通建立联系。

2、学生学的层面。

（1）  植树问题三种情况，棵数为何加1或减1，学生往往是机械记忆，缺少对解题方法的真正理解。

（2） 学生运用植树问题的方法灵活解决生活中的实际问题有难度。学生解决“锯木头”“上楼梯”“敲钟”等生活中的实际问题，由于情境的改变，学生找不到不同情境中的“棵数”与“段数”。

   透过这些问题，结合教与学的难点分析，笔者的思考是：植树问题的变化多，类型多，情况多，但不变的是“棵树”与“段数”之间一一对应的关系，这个对应关系就是植树问题的本质。怎样帮助学生抓住本质？构建植树问题的模型至关重要。以下，笔者就三个方面，就本节课如何帮助学生构建植树问题模型，进行简要阐述。

一、整体构建，厘清知识的本质及联系

   《数学课程标准（2022年版）》指出：“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系，以及学习内容与核心素养表现的关联。单元整体教学设计要整体分析教学内容本质和学生认知规律，合理整合教学内容，分析主题-单元-课时的数学知识和核心素养主要表现，确定单元教学目标，并落实到教学活动各个环节，整体设计，分步实施，促进学生多数学教学内容的整体理解与把握，逐步培养学生的核心素养。”可见，新课程标准强调要更加重视单元整体教学设计，将其有内在联系的、相邻的、具有相同主题的教学内容整合成一个整体，根据学生的认知规律进行巧妙构建，着力找到解决这一类问题的简捷方法和规律，让学生在理解新知的同时，建构知识之间的联系，获得更为系统的、合理的结构性知识，促进学生核心素养的有效发展。

   沪教版三年级上册整理与提高“数学广场——植树问题”，教材安排了2个例题，例题1安排了两个不同的教学情境，其一是“剪纸带”，通过探究“次数”与“段数”间的规律，初步感受“间隔数”与“间隔物体”间的关系；其二是探究道路一边“两端都种”的线段型植树问题，是植树问题的基本模型。例题2是在掌握了植树问题的基本模型的基础上，运用“段数”、“总长”、“段长”之间的数量关系，解决一些简单的植树问题。从例题1的安排来看，从情境和现象中观察，发现规律，提取数学模型的过程，是符合学生的认知规律的。但最基本的模型，不能满足解决各类植树问题的需求。线段型植树问题包含三种类型，除了“两端都种”，“只种一端”、“两端都不种”这两个类型也应该放在一节课内，因此在设计探究植树问题的过程中，笔者让学生摆出所有的植树情况，这样进行整体构建，让学生在相互比较中厘清线段型植树问题三种类型的异同，更好地领会这三种类型之间的联系与区别。当线段型植树问题掌握了，只要把曲线型植树问题转化成线段型植树问题就迎刃而解了，因此在“实践应用”中，笔者设计了“蜡烛”围起来“种”的情境。这样把具有相近特点的植树问题的几种类型进行整合，有利于引导学生通过对比认识相同点，厘清不同点，能更清晰地构建植树问题的三种模型，不仅可以节省教学时间，而且能促进学生对知识的整体构建，建立结构化的知识网络。

二、构建模型，在抽象和归纳中提炼数学模型

   本节课的教学重点与难点就是帮助学生构建模型，而模型的构建不是一蹴而就的，需要“搭建扶手”。

1、借助“几何直观”，初步感受“数学模型”。

   本节课借“一刀两段”的情境，提出数学问题，借助“画图”，探究次数与段数间的联系，在“画-找-推”的过程中，探索规律，寻找数学模型，初步感受“以小见大”的数学思想和学习策略。

2、自主探究，构建模型。

（1）  初步解决问题，迁移“以小见大”的数学思想。

   在解决“在全长200米的小路一边植树，每隔5米一段,可以分成几段？”这一问题中，学生会遇到“40段数量太多”“作图繁复”“不方便观察规律”等问题，以此引导学生，将总长变小，变成“一条20米的小路，每5米种一棵树，共需要几棵树？” 从简单的问题入手，化繁为简。

（2）  通过几何直观，感受“植树问题”模型。

   根据这一线段图，请学生尝试画一画有哪些植树情况，并在黑板上板演。植树问题的三种情况不是在教师的引导下发现的，而是创设学生间相互交流的时间与空间，让学生在交流中将想到的几种情况分别画出来。教学中，教师充分引导学生将多个作品适当分类，使其为后面的研究模型提供很好的教学资源。

（3）  渗透对应关系，构建点段模型。

   根据分类出的三种情况，学生会发现“棵数”与“段数”会存在三种不同的关系，“棵数=段数”、“棵数=段数+1”、“棵数=段数-1”，这里不妨引导学生思考，为什么在只种一端的情况下，棵数与段数是相等的？以此为突破点，更容易联想到“一一对应”，借助线段图，聚焦“棵数”与“段数”一一对应的关系，即点段之间的一一对应关系，初步帮助学生建立起点段的模型。在此基础上，运用“一一对应”的方法，研究另外两种植树情况，深入理解“棵数=段数+1”、“棵数=段数-1”的实质，并在规律性地发现中，将点段模型上升为关系模型，形成结构性认识。

（4）理解运用，解决问题。

   在解决了“一条20米的小路，每5米种一棵树，共需要几棵树？”这一问题后，学生发现，植树问题首先要弄清种树的类型，再计算种的棵数。以此为根据，将总长变大，“在全长200米的小路一边植树，每隔5米种一棵，最多种几棵？” 学生此时能够发现在20米的路上种树和在200米的路上种树，方法是一样的。只要想清楚种树的类型，就能根据植树问题中的数量关系，解决问题。

   学生掌握了基本的植树问题模型，并能进行简单运用。在此基础上，要引发学生更深入的思考，之前探究的“锯木头”问题是“植树问题”的哪一种情况？在让学生说理的过程中，既要说清是哪种情况，同时要说清这种情境下，“棵数”和“段数”分别是谁，使学生感受到虽然情境不同，但其实和植树模型的结构是一样的，都可以归结为同一个数学模型。

三、基于问题链，深入理解模型思想。

   认识需要在“实践、认识，再实践、再认识”的螺旋式上升过程中形成并发展，所以在“实践应用”的环节，笔者创设不同的生活情境，组成问题链，让学生再通过数学模型解决问题的过程中，通过迁移类推，进一步深入理解和掌握数学模型，感受数学模型的普适性和应用价值。

通过“欢欢的生日会”，引导学生观察生活中还有哪些情境属于植树问题，“悬挂的星星”、“小朋友的站队”、“千纸鹤串”这些情境中，学生很容易发现“星星”“小朋友”“千纸鹤”就相当于树，其数量关系完全和“两端不种”“两端都种”“只种一端”完全对应，都属于“看得见的树”。“蛋糕上的蜡烛”也是“看得见的树”，属于曲线型植树问题，但学生有了直线型植树问题的学习基础，只需回归到点段模型，将曲线型的“点与段”转化为直线型的“点与段”，再运用“一一对应”的方法，揭示曲线型植树问题中，“棵数”与“段数”相等的数量关系。

   除了“看得见的树”，学生需要接触更多元的问题情境，来打开思路，因此笔者设计了“每4年一次的奥运会”“上下课的休息时间”，通过这些“看不见的树”，能进一步巩固学生对植树问题模型的理解，让学生从这些情境中高度凝练和抽象出植树问题模型的本质，让学生感受到数学模型可以用来解决一类问题，并能够认识到现实生活中大量的问题都与数学有关，有意识地用数学的概念与方法予以解释。

   综上所述，“植树问题”这一课在整体建构的框架下，以丰富的生活情境为素材，在“画—找-—推”的学习活动中，构建数学模型，感悟“以小见大”“化繁为简”的数学思想，从简单到复杂，从观察到践行，促进学生核心素养的有效发展。